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经过前面的学习，我们来看一个使用线性回归解决真实问题的实例：使用线性回归检测水泥质量（案例来源）。
已知类似于下面这样的水泥成分样本数据，如何得到一个水泥质量预测模型，能预测出水泥的好坏？
其中，每一行代表一个样本，1-7 列是每立方米混合物中各个成分的重量（单位：千克），第 8 列是已使用天数，第 9 列 是该行水泥样本的强度（单位：MPa）。前 8 列 是水泥的输入属性，最后 1 列是输出，我们要让机器学习这些样本后得到一个模型，这个模型可以输入样本表格之外的数据，预测出水泥的强度。很显然，这是一个回归问题。
我们假设该模型为线性模型，用线性回归去解决该问题，我们可以使用正规方程法或梯度下降法，上文中采用的是梯度下降法。
不过在计算之前，我们观察到部分这样的样本数据：
可以发现不同维度的数值范围差异会很大，塑化剂维度和粗粒料的维度值范围分别是 10 左右和 1000 多 ，如此大的差异如果用梯度下降，会使得不同方向的下降速度差异很大，迭代算法可能收敛得很慢甚至不收敛。如果直接将该样本送入训练，会使目标函数的形状太"扁"，在找到最优解前，梯度下降的过程不仅是曲折的，也是非常耗时的，如下面图 3 所示，如果特征差异太大，就会像左图一样，在求最优解时，会得到一个窄长的椭圆形，导致在梯度下降时，梯度的方向为垂直等高线的方向而走之字形路线，这样会使迭代很慢；而如果特征差异不大，如右图会形成一个近似的圆形，则迭代就会很快。
所以如果求解使用迭代算法，需要在计算前把不同的特征缩放到同一个范围内，比如控制在 [-1 1] 内。这个特征数据缩放的过程就是数据归一化。
标准化和归一化
在实际的运用中我们选取的特征，比如长度，重量，面积等等，通常单位和范围都不同，这会导致梯度下降算法变慢，所以我们要将特征缩放到相对统一的范围内。通常的方法有 标准化（Standardization） 和 归一化（Normalization）。
标准化是把数据变成符合标准的正态分布，由 中心极限定理 可知，当数据量足够大时，无论原来的数据是何种分布，都可以通过下面的更新公式转变成正态分布：
归一化对梯度下降算法很友好，可以让算法最终收敛并且提高训练速度和精度，归一化的更新公式为：