x. 满秩矩阵

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线性相关和线性无关

如果有不全为 0 的数 $k_1, \dots, k_s$ 使得 $k_1 \bf{\alpha_1} + \dots + k_s \bf{\alpha_s} = 0$，那么向量组 $\bf{\alpha_1}, \dots, \bf{\alpha_s}$ 称为 线性相关 的。

如果只有全为 0 的数 $k_1, \dots, k_s$ 使得 $k_1 \bf{\alpha_1} + \dots + k_s \bf{\alpha_s} = 0$，那么向量组 $\bf{\alpha_1}, \dots, \bf{\alpha_s}$ 称为 线性无关 的。

判断一个向量组是否线性相关，一般将向量组组成一个矩阵，再对矩阵进行 初等行变换 转成 阶梯型矩阵，最后比较阶梯型矩阵的非零行数目和未知量数目。

极大线性无关组

如果一个向量组的部分组是线性无关的，但是从这个向量组的其余向量中（如果还有的话）任取一个添进去，得到的新的部分组都是线性相关的，那么这个部分组被称为 极大线性无关组。

向量组的秩

向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个 向量组的秩。

矩阵的秩

矩阵 A 的列向量组的秩称为 A 的 列秩，A 的行向量组的秩称为 A 的 行秩，任一矩阵的行秩等于它的列秩，行秩和列秩统称为 A 的 秩，记为 $rank(A)$。

满秩矩阵

一个 n 级矩阵 A 的秩如果等于它的级数 n，那么称 A 为 满秩矩阵（full-rank matrix）。