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二次型

数域 KK 上的一个 n 元二次型 是系数在 KK 中的 n 个变量的二次齐次多项式，它的一般形式为：

f(x1,x2,…,xn)=∑i=1n∑j=1naijxixj f(x_1, x_2, \dots, x_n) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j

其中 aij=ajia_{ij} = a_{ji}。

将上式中的系数写成矩阵形式：

\[ A = \begin{aligned}{ \left[ \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \dots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right ] }\end{aligned} \]

显然 A 是一个对称矩阵，它被称为 二次型 f(x1,x2,…,xn)f(x_1, x_2, \dots, x_n) 的矩阵。

令 X=[x1x2⋮xn]X = \left[ \begin{array}{ccc} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right]，则二次型可以写成下面的形式：

f(x1,x2,…,xn)=X′AX f(x_1, x_2, \dots, x_n) = X'AX

正定矩阵

如果对于 RnR^n 中的任意非零列向量 α\bf{\alpha}，都有 α′Aα>0\bf{\bf{\alpha}'A\bf{\alpha}} > 0，那么 n 元实二次型 X′AXX'AX 称为 正定 的，实对称矩阵 AA 被称为 正定矩阵（positive definite matrix）。